Das nichtlineare Energiemodell und Spannung

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 8456 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Die Beziehung zwischen Dehnung und elastischer Energie wird durch die Einführung eines Spannungszustandsparameters vereinfacht, der auf dem verallgemeinerten Hookeschen Gesetz basiert. Es wird davon ausgegangen, dass die Mikroelementfestigkeiten der Weibull-Verteilung genügen, und ein neues Modell für die nichtlineare Entwicklung der Energie wird durch die Einführung des Konzepts der Gesteinsmikroelementfestigkeiten entwickelt. Auf dieser Grundlage wird eine Sensitivitätsanalyse der Modellparameter durchgeführt. Die Ergebnisse zeigen, dass das Modell gut mit den experimentellen Daten übereinstimmt. Das Modell kommt den Verformungs- und Schädigungsgesetzen des Gesteins nahe und ist in der Lage, den Zusammenhang zwischen der elastischen Energie und der Dehnung des Gesteins abzubilden. Durch den Vergleich mit anderen Modellkurven ist das Modell dieser Arbeit besser für die experimentelle Kurve geeignet. Sie zeigen, dass das verbesserte Modell die Spannungs-Dehnungs-Beziehung von Gestein besser beschreiben könnte. Schließlich kann gemäß der Analyse des Einflusses des Verteilungsparameters auf das Variationsmuster der elastischen Energie des Gesteins die Größe des Verteilungsparameters direkt die Spitzenenergie des Gesteins widerspiegeln.

Der Verformungs- und Versagensprozess von Gestein ist der Prozess der Energiefreisetzung, -umwandlung und -dissipation, der zu einem Ungleichgewicht des ursprünglich stabilen Gesteinszustands führt1. In der praktischen Technik wird der ursprüngliche Gleichgewichtszustand des Gesteins durch den Bau eines unterirdischen Kraftwerks, den Tunnelaushub, den Kohlebergbau und andere Ingenieurbauwerke zerstört2,3. Dies führt zur Instabilität und zum Versagen des Gesteins. Während des Baus dieser Projekte entwickelt sich die Energie im Gestein ständig weiter. Der Bergbau und Aushub durch menschliche Aktivitäten ist der Prozess der externen Energiezufuhr in das Gestein. Die baulichen Maßnahmen wie Verstärkung und Sicherung des Tiefbaus können als Umwandlung und Übertragung von Gesteinsenergie verstanden werden4. Die Verformung und das Versagen von Gestein werden in verschiedenen Energieformen wie Wärmeenergie, kinetischer Energie und Strahlungsenergie zerstreut oder freigesetzt. Es ist ersichtlich, dass die Untersuchung des Verformungs- und Versagensprozesses von Gestein aus energetischer Sicht näher an der Ingenieurspraxis und dem Wesen des Gesteinsversagens liegt. Daher kann die Aufdeckung des Gesetzes der Energieänderung im Prozess des Gesteinsversagens wichtige theoretische Unterstützung für den Bau von Wasserschutzprojekten liefern5. Mit der zunehmenden Zahl hochvergrabener Untertageprojekte sind der Abbau und der Aushub von Tiefgestein zur Norm geworden. Im komplexen Spannungszustand des Gesteinsmaterials ist das Versagenskriterium des Gesteins komplex6. Sein Schadenskonstitutivmodell wird sehr komplex und veränderlich. In Anbetracht der Tatsache, dass der Energieantrieb die Essenz des Gesteinsversagens ist, kann die Untersuchung des Materialmodells von Gesteinsmaterialien aus der Perspektive der Energie die Komplexität des Modells der Schadenskonstitutive reduzieren7. Es kann auch den Verformungs- und Versagensprozess von Gesteinsmaterialien vollständig darstellen. Die Etablierung eines Energiekonstitutivmodells für Gestein kann das Verständnis des Wesens des Versagensprozesses von Gesteinsmaterial vertiefen. Die Forschungsergebnisse können auf ein breiteres Spektrum von Materialien angewendet werden8.

Der Verformungsprozess der Gesteinsmasse geht mit einer Energieänderung einher, und Energie ist die grundlegende innere Ursache für die letztendliche Schädigung des Treibmaterials. Die beim Belastungsvorgang im Gestein gespeicherte elastische Energie wird so weit freigesetzt, dass es zu Schäden kommt. Während des Sandsteinversagens unter unterschiedlichen Grenzdrücken weist der Speicherprozess elastischer Energie regelmäßige Eigenschaften auf9,10. Der Gesteinsschädigungsprozess wurde aus energetischer Sicht untersucht. Das ultimative Ziel besteht darin, den Energieentwicklungsmechanismus von Gesteinsschäden zu entdecken und eine Methode zur Vorhersage von Gesteinsschäden zu finden, die auf dem Energieprinzip basiert11. Durch die Energieakkumulations- und Entwicklungseigenschaften des Sandsteinversagensprozesses unter verschiedenen Spannungspfaden wird das nichtlineare Energieentwicklungsmodell des Gesteinsversagensprozesses erstellt und das Energievorhersagekriterium des Gesteinsversagens angegeben12.

Angesichts der Ansammlung und des Verbrauchs von Energie im Prozess der Gesteinsverformung und -zerstörung kann das Gesetz der Energieentwicklung den gesamten Prozess von Gesteinsmikrostrukturdefekten oder strukturellem Abbau widerspiegeln. Daher ist die Analyse der Energieentwicklung für die Untersuchung von Gesteinsverformungen und -versagen von Nutzen. Zhang et al.13 untersuchten die Verteilung der Energiedissipation und -freisetzung von Gestein bei verschiedenen Aufprallbelastungsraten und stellten fest, dass die dissipative Energie des Gesteinsversagens mit zunehmender Belastungsrate zunimmt. Meng et al.14 bestätigten die Geschwindigkeit der gespeicherten, elastischen und dissipierten Energien bei unterschiedlichen Belastungsraten, präsentierten einen effektiven Ansatz für die äquivalente Energieoberfläche und zeigten die Energieentwicklung von Gesteinsverformung und -versagen auf. Xiao et al.15 bewerteten die Vor- und Nachteile verschiedener Schadensvariablen. Qiu et al.16 präsentierten eine inkrementelle Methode und analysierten quantitativ das Schadensverhalten von Jinping-Marmor vor der Spitzenbelastung. Basierend auf einachsigen Kompressionstests bei unterschiedlichen Dehnungsraten fanden Wang et al.17 heraus, dass die Energieentwicklung des Karstkalksteinversagensprozesses offensichtliche Stufenmerkmale aufweist und das Dehnungsenergieverhältnis S-förmig ist. Li et al.18 definierten Sprödigkeit neu als die umfassende Fähigkeit, eine kleine Energiemenge im Vor-Peak-Stadium zu zerstreuen und im Post-Peak-Stadium einen vollständigen Ausfall aufrechtzuerhalten. Es kann die Spannungs-Dehnungs-Kurve und das Versagensverhalten von Gestein unter verschiedenen Randbedingungen genau charakterisieren. Zhang et al.19 führten quasistatische Drucktests an Marmor unter verschiedenen Spannungspfaden durch. Es wurde festgestellt, dass die Energiespeichergrenze von Gesteinsproben unter dreiachsiger Belastung höher ist als unter einachsiger Kompression oder dreiachsiger Entlastung. Basierend auf dem Interaktionsmechanismus von Energieakkumulation und Energiedissipation wird ein nichtlineares Energieentwicklungsmodell von Gestein erstellt.

Die obige Forschung analysiert nur das Evolutionsgesetz der Gesteinsenergie und erstellt das entsprechende einfache Energiemodell. Allerdings können nur wenige Energiemodelle das Gesetz der Energieentwicklung beschreiben. Gleichzeitig können weniger Modelle die Spannungs-Dehnungs-Beziehung mithilfe des Energiemodells beschreiben. In der aktuellen Studie wurde der herkömmliche triaxiale Kompressionstest von Sandstein aus der Kohlemine Fuxin Hengda durchgeführt, um die Spannungs-Dehnungs-Beziehung von Sandstein unter verschiedenen Grenzdrücken und den Mechanismus der Energieentwicklung und des Verformungsversagens zu analysieren. Anschließend wurde ein nichtlineares Energieentwicklungsmodell anhand der Energiefreisetzungsrate, des Prinzips der Äquivalentdehnungshypothese und des verallgemeinerten Hookeschen Gesetzes erstellt, um die Variation der elastischen Energie mit der Änderung der Dehnung während des Belastungsprozesses vorherzusagen. Abschließend wird der Einfluss von Verteilungsparametern auf das Änderungsgesetz der elastischen Gesteinsenergie analysiert.

Die ausgewählten Gesteinsblöcke stammen aus demselben Abschnitt, um die Unterschiede in den Proben zu verringern und die Vergleichbarkeit der Tests sicherzustellen. Abbildung 1a zeigt die Sandsteinproben. Nachbearbeitete Testproben werden anhand der oben genannten Genauigkeitsanforderungen gescreent und visuell untersucht. Muster mit Mängeln im Aussehen und offensichtlichen Unterschieden werden entfernt. Die für den Test verwendeten Gesteinsproben stammen alle aus der Hengda-Kohlemine. Die Tiefe der ausgewählten Proben beträgt 800 bis 850 m. Das Aussehen der Gesteinsprobe ist dunkelgrau, die Struktur ist relativ gleichmäßig und die Textur ist relativ hart. Es sind keine Mikrorisse und Bettungen sichtbar. Um den Unterschied zwischen den Proben zu verringern und die Vergleichbarkeit des Tests zu gewährleisten, werden die ausgewählten Gesteinsblöcke alle aus demselben Abschnitt entnommen. Der Wassergehalt des Gesteins beträgt 0,171 %. Die natürliche Wasseraufnahme betrug 2,349 %. Die Dichte beträgt 2,355 g/cm3. Gesteinsproben mit ähnlichen Wellengeschwindigkeiten werden als Teststücke für die triaxialen Tests mithilfe des akustischen Wellenerkennungssystems der Gesteinstestmaschine MTS815.02 ausgewählt. Das Grauweiß besteht hauptsächlich aus Quarz, Albit, Dolomit, Biotit, Feldspat und Kaolinit. Die Proben werden in einem Standardzylinder mit einem Durchmesser von 50 mm und einer Höhe von 100 mm verarbeitet. Die XRD-Muster der Gesteine sind in Abb. 1b dargestellt.

Sandsteinproben.

Die in dieser Studie verwendete Hauptausrüstung ist eine multifunktionale elektrohydraulische servogesteuerte starre Prüfmaschine, die speziell für die Analyse von Gestein und Beton entwickelt wurde (MTS Corporation, USA). Das Testsystem bestand aus einem Belastungsteil, einem Testteil und einem Kontrollteil. Das Gerät verfügt über drei unabhängige Servosteuerungsfunktionen mit geschlossenem Regelkreis zur Steuerung des Axial-, Begrenzungs- und Wasserdrucks. Die Gerätetestdaten sind objektiv und zuverlässig. Der doppelte axiale Extensometer und der Umfangsextensometer erzielen eine hohe Prüfgenauigkeit und es stehen mehrere Servosteuerungsmethoden zur Verfügung. Die wichtigsten technischen Parameter der Testmaschine sind wie folgt: eine Steifigkeit von 7,0 × 109 N/m, ein maximaler Axialdruck von 1600 KN, ein maximaler Begrenzungsdruck von 70 MPa und ein maximaler Porenwasserdruck von 70 MPa. Abbildung 2 zeigt die Testausrüstung.

MTS815.02 Felsmechanik-Testsystem.

Im Test werden die Grenzdrücke 0, 10, 20, 30 und 40 MPa verwendet. Um die Korrektheit der Spannungs-Dehnungs-Kurve des herkömmlichen triaxialen Druckversuchs unter jedem Grenzdruck sicherzustellen, werden drei Proben für die Prüfung unter jeder Grenzdruckbedingung ausgewählt. Aufgrund der hohen in-situ-Spannung des Gesteins beträgt die maximale horizontale in-situ-Spannung 45 MPa und die vertikale in-situ-Spannung 25 MPa. Daher gehört dieser Bereich zu einer Umgebung mit hoher Bodenbelastung. Basierend auf diesem Wert wird der Grenzdruckwert dieser Arbeit formuliert.

Tabelle 1 zeigt das spezifische Testbelastungsschema.

Die Spitzenfestigkeit von drei Proben muss getestet werden. Wenn der Unterschied zwischen den drei Spitzenstärken 15 % nicht überschreitet, werden drei Spitzenstärken als endgültige Spitzenstärke der Gesteinsprobe angenommen. Wenn der Unterschied zwischen zwei der drei Spitzenfestigkeiten 15 % überschreitet, muss die Prüfung der mechanischen Eigenschaften neu gestartet werden, bis die oben genannten Bedingungen erfüllt sind20. Wenn die oben genannten Bedingungen erfüllt sind, werden die Daten, die der Intensität des Zwischenpeaks entsprechen, als Forschungsobjekt dieser Arbeit ausgewählt.

Die Testschritte der mechanischen Eigenschaften von Gestein unter verschiedenen Grenzdrücken sind wie folgt.

Beide Enden der Sandsteinprobe werden gleichmäßig mit Vaseline bestrichen, um sicherzustellen, dass die gemessenen Testdaten nicht durch den Endeffekt beeinträchtigt werden.

Sandsteinproben müssen in der Mitte des Prüfstands platziert werden. Es ist notwendig, die thermoplastische Folie auf der Außenseite des Sandsteins abzudecken und sicherzustellen, dass die thermoplastische Folie nahe an der Probe liegt. Es müssen axiale und radiale Wegsensoren installiert werden. Probe und Prüfgerät werden in der Mitte der Druckkammer platziert, die Druckhaube langsam abgesenkt und das Hydrauliköl in die Druckkammer eingefüllt.

Die Belastungsrate aus Sperrdruck und Axialdruck beträgt 0,5 mm/min.

Der Begrenzungsdruck muss auf einen vorgegebenen Wert eingestellt werden. Es ist notwendig, den Grenzdruckwert während des Ladevorgangs konstant zu halten.

Die axiale Kompression muss bis zum Reststadium kontinuierlich belastet werden.

Die Testdaten wurden gespeichert und exportiert und die Spannungs-Dehnungs-Kurven unter verschiedenen Grenzdruckbedingungen werden aufgezeichnet.

Die Prüfdaten werden automatisch von der Prüfmaschine erfasst und in entsprechende Dehnungs- und Spannungsausgaben an das Datenerfassungssystem umgewandelt. Tabelle 2 zeigt die Ergebnisse des triaxialen Kompressionstests. σ1c ist die Spitzenspannung. ε1c ist die Spitzendehnung. σ1r ist die Eigenspannung. ε1r ist die Restdehnung.

Abbildung 3 zeigt die axiale Spannungs-Dehnungs-Kurve.

Axiale Spannungs-Dehnungs-Kurven.

Abbildung 3 zeigt, dass die Spannungs-Dehnungs-Beziehungskurven bei unterschiedlichen Grenzdrücken gleich sind und beide typische Sandstein-Sprödeeigenschaften aufweisen. In der Verdichtungsphase schließen sich die ursprünglichen Poren im Inneren des Gesteins unter der äußeren Belastung nach und nach. Dadurch ändert sich die Belastung nicht wesentlich. Die Kurven stimmen überein und zeigten keine erkennbare Abweichung. In der elastischen Phase wird die Dehnung durch den Anstieg des Grenzdrucks eingeschränkt. Da die axiale Dehnung mit zunehmender deviatorischer Spannung zunimmt, zeigt die Kurve eine deutliche Abweichung. In der plastischen Phase nehmen mit zunehmendem Grenzdruck der Grad der Abweichung der Kurve und die dem Gesteinsgipfel entsprechende Spannung zu. Im Post-Peak-Erweichungsstadium nimmt die Spannung schnell ab und stabilisiert sich allmählich, wenn die Spannung allmählich zunimmt. Im Vergleich zu denen bei einachsiger Kompression sind die Spitzenfestigkeit und -dehnung sowie die Restfestigkeit bei herkömmlichen dreiachsigen Belastungsschäden erheblich verbessert. Im Triaxialversuch ist ein deutlicher Begrenzungsdruckeffekt zu beobachten. Mit steigendem Begrenzungsdruck nimmt die Spitzenintensität deutlich zu. Ein hoher Grenzdruck weist auf eine hohe Spitzenintensität hin. Die Restfestigkeit hat auch einen starken Begrenzungsdruckeffekt. Mit zunehmendem Einschlussdruck nimmt die Restfestigkeit zu.

Nach den Gesetzen der Thermodynamik und unter äußerer Belastung wird die äußere Kraft als Eingangsenergie des Gesteins berechnet21.

Dabei ist Ue die elastische Energie, Ud die dissipative Energie und U die Gesamtenergie.

Bei der Gesteinsbeladung führen äußere Lasten zu externen Wärmeverlusten bei Arbeiten am Gestein. Zur Vereinfachung der Berechnung wird in dieser Studie der Energieverlust in diesem Teil ignoriert. Diese Studie geht davon aus, dass die äußere Belastung eine Arbeit am Gestein erzeugt, die der Energie entspricht, die das Gestein von außen aufnimmt. Die Energie, die das Gestein von außen aufnimmt, ist die Summe aus elastischer Energie und dissipierter Energie. Beim dreiachsigen Gesteinskompressionstest umfasst die vom Gestein absorbierte Energie die Summe der durch den axialen und radialen Druck verrichteten Arbeiten. Die durch die axiale Kompression verrichtete Arbeit ist die gleiche wie die axiale Kompression im einachsigen Zustand, die radiale Zwangsarbeit am Gestein ist jedoch auf den radialen Dilatanzschaden zurückzuführen. Daher ist die Radialarbeit negativ. Die vom Gestein von außen aufgenommene Energie errechnet sich wie folgt:

Dabei ist U1 die axiale Dehnungsenergie und U3 die radiale Dehnungsenergie.

Die axialen und radialen Dehnungsenergien können ausgedrückt werden als:

Dabei sind σ1i, σ3i und ε1i, ε3i die axiale radiale Spannung bzw. Dehnung des Punktes auf der vollständigen Spannungs-Dehnungs-Kurve des entsprechenden dreiachsigen Druckversuchs.

Die Berechnungsgleichung für die elastische Energie der dreiachsigen Kompression lautet

Dabei ist E der anfängliche Elastizitätsmodul und υ die Poissonzahl.

Methode zur Bestimmung der Gesamtenergie.

Mithilfe der Software Origin werden die axialen Spannungs-Dehnungs- und Umfangsspannungs-Dehnungsdaten jeweils flächenweise integriert und die neuen Daten nach der Integration erhalten. Die Gesamtenergie im Gesteinsladeprozess ergibt sich durch Addition der integrierten Daten.

Bestimmungsmethode der elastischen Elementenergie.

Zunächst werden der Elastizitätsmodul und die Poissonzahl des Gesteins unter verschiedenen Grenzdrücken bestimmt. Die axialen Spannungs-Dehnungs-, Umfangsspannungs-Dehnungs-Daten, der Elastizitätsmodul und das Poisson-Verhältnis unter verschiedenen Grenzdrücken werden in Gleichung eingesetzt. (5). Es können die elastischen Energiedaten von Gestein bei Belastung ermittelt werden.

Methode zur Bestimmung der dissipativen Energie.

Die Gesamtenergie abzüglich der elastischen Energie ist die dissipierte Energie des Gesteins.

Abbildung 4 zeigt die einachsige Energietestkurve anhand der oben genannten Energieberechnungsgleichung.

Einachsige Energieentwicklungskurve.

In der anfänglichen Belastungsphase stimmt die Kurve der elastischen Energiedichte des Gesteins mit der Kurve der Gesamtenergiedichte überein. Zu diesem Zeitpunkt ist die Verlustenergiekurve die Summe der x-Koordinatenachsengewichte. Obwohl die elastische Energiekurve nach der elastischen Dehnungsphase weiter ansteigt, zeigt auch die Dissipationsenergiekurve einen steigenden Trend. Zu diesem Zeitpunkt ist die Wachstumsrate der elastischen Energie geringer als die der dissipativen Energie. Nach dem Spitzenpunkt beginnt mit zunehmender Dehnung die elastische Energie abzunehmen und die Dissipationsenergie zuzunehmen. Wenn die elastische Energie des Gesteins den begrenzten Energiespeicher übersteigt, beginnt es bei der Spitzenspannung freizusetzen, was zur Verformung und zum Versagen des Sandsteins führt. Bei der Energiefreisetzung bilden sich aus den winzigen Rissen im Inneren des Gesteins nach und nach makroskopische Risse und nach und nach eine Bruchfläche.

Abbildung 5 zeigt die dreiachsige Kompressionsenergietestkurve anhand der oben genannten Energieberechnungsgleichung.

Entwicklungskurve der dreiachsigen Kompressionsenergie.

Abbildung 5 zeigt, dass mit zunehmendem Grenzdruck auch der externe Energieeintrag in das Gestein als elastische Energie zunimmt. Der Trend des elastischen Energiewachstums steht im Einklang mit dem Änderungsgesetz der Gesteinsspannungs-Dehnungs-Kurve. Mit zunehmender Dehnung zeigt auch die Variation der elastischen Energie einen Trend, der zunächst zunimmt, dann abnimmt und schließlich regional stabil bleibt. Auch die elastische Energie-Dehnungs-Kurve weist deutliche Spitzenpunkte auf. Die Kurven der Gesamtenergie und der elastischen Energie fallen vor der elastischen Verformung zusammen. Danach stiegen die Gesamtenergie und die elastische Energie immer noch an, aber die Wachstumsrate verlangsamte sich. Die elastische Energie beginnt sich in der Nähe der Spitzenspannung freizusetzen. Dies führte zur Verformung und zum Versagen des Sandsteins. Zu diesem Zeitpunkt beginnt die Dissipationsenergie stark anzusteigen, aber die elastische Energie ist immer noch größer als die Dissipationsenergie. Die Gesteinsverformung tritt in das Stadium der Fließplastik ein und im Sandstein entstehen zahlreiche neue Risse und Risse. Auch der Energieverbrauch durch Gesteinsverformung steigt stark an. Ein Teil der Risse wird zu einer neuen Bruchfläche verbunden. Wenn die Spannung ihren Höhepunkt erreicht, erreicht die Verformungsenergie ihr Maximum (und überschreitet die begrenzte Energiespeicherkapazität von Sandstein). Die elastische Energie beginnt sich freizusetzen und führt zu einer Verformung und Instabilität des Sandsteins, aber die Änderungsrate der Gesamtenergie zeigt einen Abwärtstrend. Am Höhepunkt wird die gesamte gespeicherte Energie freigesetzt, was zu Gesteinsschäden und dem Beginn der Restphase nach dem Höhepunkt führt. Wenn der Grenzdruck 10 MPa beträgt, ändert sich die Gesamtenergie des Gesteins tendenziell nach dem Spitzenpunkt. Zu diesem Zeitpunkt zeigt die Gesamtenergiekurve ein Gesetz, das zunächst abnimmt und dann zunimmt. Die Gesamtenergie des Einschlussdrucks von 30 MPa weist einen klaren Trend auf, der zunächst abnimmt und nach dem Spitzenwert dann zunimmt. Die von der Gesteinsprobe absorbierte Gesamtenergie umfasst die positive Arbeit der Axialkraft und die negative Arbeit der Radialkraft. Die Druckspannung ist positiv und die Umfangsspannung ist negativ. Je größer der Begrenzungsdruckwert ist, desto mehr negative Arbeit verrichtet der radiale Begrenzungsdruck und die Gesamtenergiekurve zeigt einen Abwärtstrend. Die Gesamtenergiekurve wiederum zeigt nach dem Höhepunkt einen kurzen Abwärtstrend. Dies liegt daran, dass der radiale Dehnungswert des Gesteins größer ist als der axiale Dehnungswert, wenn der begrenzende Druck in der anfänglichen Zeit nach dem Höhepunkt größer ist. Allerdings nehmen sowohl die axiale als auch die radiale Dehnungswachstumsrate mit der Dauer der Belastung ab. Und die durch den radialen Begrenzungsdruck geleistete negative Arbeit ist geringer als die durch die axiale Spannung geleistete positive Arbeit. Dadurch steigt die Gesamtenergiekurve allmählich wieder an. Wenn das umgebende Gestein 10 MPa hat, zeigt die Gesamtenergiekurve im Postpeak-Stadium keinen offensichtlichen Abwärtstrend. Es könnte sein, dass die durch den Begrenzungsdruck geleistete negative Arbeit geringer ist als die durch die Axialkraft geleistete positive Arbeit22.

Abbildung 5e zeigt, dass mit zunehmendem Grenzdruck die elastischen und Gesamtenergien des Gesteins am Spitzenpunkt einen linear steigenden Trend aufweisen. Die Energie bei der herkömmlichen dreiachsigen Kompression ist erheblich größer als die Energie bei der einachsigen Kompression. Daher erhöht die Erhöhung des Begrenzungsdrucks allmählich die Energiespeichergrenze und die Gesamtenergie des Eingangsgesteinssystems und verbessert effektiv die Tragfähigkeit des Gesteins.

Das Variationsgesetz der Energieentwicklungskurve wird entsprechend dem Verformungsstadium der Spannungs-Dehnungs-Kurve analysiert. (1) Porenverdichtungsstadium. Der gesamte Energieeintrag in das Gestein durch die externe Prüfmaschine wird überwiegend in elastische Energie umgewandelt. In diesem Stadium stimmen die Kurven der elastischen Energie und der Gesamtenergie überein. Mit zunehmender Dehnung zeigen die Kurven einen Trend zu zunehmender Konkavität. Die dissipierte Energie fällt fast mit der Dehnungsachse zusammen. Aber es gibt immer noch Kapazitäten, die in unterschiedlicher Form an die Außenwelt abgegeben werden. Dies liegt daran, dass im Stadium der Verdichtung und Verformung von Gesteinen ein Teil der Energie für die Bewegung der Hohlraumverdichtung und Partikelreibung aufgewendet werden muss. (2) Elastische Verformungsphase. Zu diesem Zeitpunkt stimmen die Kurven der Gesamtenergie und der elastischen Energie noch überein. Allerdings weicht die Kurve auch von der erhöhten Axialdehnung ab. Zu diesem Zeitpunkt beginnt die dissipierte Energie des Gesteins von der Dehnungsachse abzuweichen und weist einen offensichtlichen Trend zur Zunahme auf. Der Anteil der Verlustenergie an der Gesamtenergie ist gestiegen. Dies liegt daran, dass das Gestein zu diesem Zeitpunkt unter der Einwirkung äußerer Belastungen begann, neue Risse und andere innere Defekte zu bilden. Die Entstehung dieser Defekte und ihre anschließende Entwicklung und Ausbreitung erfordern einen Energieverbrauch. (3) Stadium der plastischen Ausbeute. In diesem Stadium sind Risse und andere Defekte im Gestein vollständiger ausgebildet. Zu diesem Zeitpunkt nimmt die dissipierte Energie des Gesteins stark zu. Mit zunehmendem axialen Dehnungswert nimmt auch die elastische Energie zu. Aber die Wachstumsrate der elastischen Energie beginnt sich zu verlangsamen. Man kann davon ausgehen, dass die Hauptursache für Gesteinsversagen die massive Freisetzung elastischer Energie ist. (4) Dehnungserweichungsphase nach dem Spitzenwert. In diesem Stadium nimmt die elastische Energie des Gesteins mit zunehmendem axialen Dehnungswert ab. Die Beziehung zwischen der Gesamtenergie und der dissipierten Energie des Gesteins und der Dehnung im Post-Peak-Verformungsstadium erfüllt die lineare Änderungsbeziehung. Zu diesem Zeitpunkt ist auch die Anzahl und Entstehungsgeschwindigkeit von Rissen im Gestein höher. Die gegenseitige Bewegung zwischen den mikroskopisch kleinen Partikeln ist häufiger und das Gleiten und Verschieben der Bruchfläche ist intensiver. Daher ist auch die Energie, die durch die Gesteinsverformung im Postpeak-Stadium verbraucht wird, höher. (5) Restverformungsstadium. In diesem Stadium bleibt die elastische Energie des Gesteins mit zunehmendem axialen Dehnungswert unverändert. Die Gesamtenergie und die dissipierte Energie des Gesteins nehmen immer noch linear mit zunehmender Dehnung zu.

Die entsprechenden Energiewerte an den Spitzenpunkten der ausgewählten elastischen Energiekurve sind in Tabelle 3 aufgeführt.

Bei der Untersuchung der Gesteinsfestigkeit und des Gesamtversagenskriteriums auf der Grundlage des Prinzips der Energiedissipation und -freisetzung stellten Xie et al.23 fest, dass die maximale Energiefreisetzungsrate in Richtung der minimalen Druckspannung auftritt. Wenn die maximale Energiefreisetzungsrate G3 den kritischen Wert Gc erreicht, wird die in der Einheit gespeicherte Verformungsenergie zuerst in dieser Richtung freigesetzt. Wenn die elastische Dehnungsenergie der Einheit die für das Gesamtversagen der Gesteinseinheit erforderliche Oberflächenenergie erreicht, wird die elastische Dehnungsenergie der Einheit vollständig freigesetzt. Der Körper der Einheit wird plötzlich zerstört. Wenn die beiden Energien gleich sind, kommt es zu einem statischen Gesamtversagen des Einheitskörpers. Wenn die elastische Dehnungsenergie des Elements größer als die Oberflächenenergie ist, erleidet der Einheitskörper ein dynamisches Gesamtversagen und die Energiedifferenz stellt die kinetische Energie des geteilten Einheitskörpers dar.

wobei K3 die Materialkonstante ist.

Wenn die maximale Energiefreisetzungsrate G3 den kritischen Wert Gc erreicht, wird die in der Einheit gespeicherte Verformungsenergie zuerst in diese Richtung freigesetzt, d. h. G3 = Gc.

Dabei ist σc die einachsige Druckfestigkeit des Gesteins, W'e die elastische Energie im einachsigen Zustand und E der Elastizitätsmodul.

Unter der Bedingung G3 = Gc ersetzt das Ersetzen von Gl. (7) in Gl. (6) Erträge

Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz und das Prinzip der äquivalenten Dehnung gehen davon aus, dass das Gestein bei normaler dreiachsiger Kompression die folgenden Bedingungen erfüllt.

Dabei ist μ die Poisson-Zahl, ε1 die axiale Dehnung, ε3 die radiale Dehnung und D die Schadensvariable.

Die axiale Dehnung ε1 und die radiale Dehnung ε3 werden subtrahiert, um zu erhalten.

Gleichung (10) wird in Gleichung eingesetzt. (8) um die Beziehung zwischen der elastischen Energie und der Dehnung zu erhalten.

Während des Gesteinsbelastungsprozesses spiegelt das Mohr-Coulomb-Versagenskriterium nicht nur effektiv die Verformung und das Versagen von Geomaterialien wider, sondern beschreibt auch effektiv die Festigkeitseigenschaften des Gesteins. Dieses Kriterium ist im Bereich der Geotechnik weit verbreitet und wird ausgedrückt als

Dabei sind α und β die Testparameter und F die Ertragsfunktion.

Im Allgemeinen erfüllen die Testparameter α und β die folgenden Bedingungen:

Dabei ist c die Kohäsionskraft und φ der innere Reibungswinkel.

Wenn die Radialdehnung ε3 in Gl. (11) können die elastische Energie und die axiale Dehnung keine gute Übereinstimmung herstellen. Daher muss die Beziehung zwischen axialer und radialer Dehnung ermittelt werden, um ein nichtlineares Modell der Energieentwicklung zu erstellen.

Im einachsigen Spannungszustand beträgt die radial-axiale Dehnungsbeziehung des idealen Elastomers

Unter dem triaxialen Spannungszustand ist die radial-axiale Dehnungsbeziehung des idealen Elastomers gleich

Die radial-axiale Dehnungsbeziehung des idealen Elastomers unter unidirektionalen und triaxialen Spannungszuständen kann angenommen werden als

wobei λ der auf den Spannungszustand bezogene Koeffizient ist.

Im unidirektionalen Spannungszustand erfüllt der auf den Spannungszustand bezogene Koeffizient λ die Bedingung

Im 3D-Spannungszustand erfüllt der auf den Spannungszustand bezogene Koeffizient λ die Bedingung

Die Beziehung zwischen axialen und radialen Dehnungen wird in das elastische Energiemodell eingesetzt.

Die Schadensvariable ist eine interne Variable, die die Spannungs-Dehnungs-Änderung und die Verschlechterung der mechanischen Eigenschaften im Gestein beschreibt. Die Weibull-Verteilung in der statistischen Schadensmechanik beschreibt nicht nur die progressive Verteilung von Materialschäden gut, sondern auch das Schadensentwicklungsgesetz und die Versagensprozesskurve von Gestein. Daher wird davon ausgegangen, dass die Schadenseigenschaften des Gesteins der Weibull-Verteilung genügen.

Nach Kachanovs Schadensdefinition kann der Schaden an einem Material im Allgemeinen durch die Anzahl der internen Schadenseinheiten und das Verhältnis zur Gesamtzahl der Materialien dargestellt werden24.

Dabei ist D die Schadensvariable, N die Gesamtzahl der Gesteinselemente und Nf die Anzahl der Gesteinselementausfälle.

Es wird davon ausgegangen, dass die Festigkeit des Gesteinsmikroelements die Weibull-Verteilungsfunktion erfüllt, wenn ein Schaden auftritt.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(F) kann ausgedrückt werden als:

wobei n und F0 die Verteilungsparameter sind.

Mikroskopisch gesehen kann die Anzahl der Mikroinjektionen im Gestein Nf25 erreichen, wenn das Gestein der äußeren Belastung bis zur Streckgrenze ausgesetzt wird.

Die Schadensentwicklungsgleichung für Gestein ergibt sich aus den Gleichungen. (20), (21) und (22).

Das Schadensmodell wird in das elastische Energiemodell eingesetzt und die konstitutive Gleichung der nichtlinearen Energieentwicklung des Gesteins wird erhalten.

Ersetzen von Gl. (24a) in Gl. (8), Gl. (24b) erhalten werden.

E und v können anhand der Spannungs-Dehnungs-Kurve unter verschiedenen Grenzdruckbedingungen berechnet werden. Die Verteilungsparameter m und F0 werden im Allgemeinen durch die Beziehung der speziellen Punkte der Spannungs-Dehnungs-Kurve bestimmt.

Das Schema der Gesteinsspannungs-Dehnungs-Kurve in Abb. 6 zeigt, dass die folgenden geometrischen Beziehungen bestehen, wenn das Gestein bis zum Spitzenpunkt belastet und verformt wird26.

Diagramm der Energieentwicklungskurve des Gesteins.

Bedingung (1) Ue = Uec ist erfüllt, wenn ε1 = ε1c.

Bedingung (2) ∂Ue/∂ε = 0 ist erfüllt, wenn ε1 = ε1c.

Durch Kombination der Bedingungen (1) und (24a), (b), Gl. (25) erhalten werden.

Durch die Kombination der Bedingungen (2) und (24a), (b), Gl. (26) erhalten werden.

Gleichung (12) ist die Fließfunktion von makroskopischem Gestein. Durch Einsetzen der Schadensgröße kann diese in die Fließfunktion des Gesteinselements transformiert werden. Das Festigkeitskriterium von Gesteinsmikroelementen kann ausgedrückt werden als:

Die erste Ableitung der elastischen Energie zur axialen Dehnung ist

Die erste Ableitung der Fließfunktion zur axialen Dehnung ist

Durch Ersetzen der Gl. (28) und (29) in Gl. (26) ergibt die Simultangleichung den Verteilungsparameter n als

Dabei ist F1c der Wert der Gesteinsfestigkeit am Spitzenpunkt und D1c der Wert der Schadensvariablen am Spitzenpunkt.

B ist

Der Verteilungsparameter m wird in Gleichung eingesetzt. (23) um den Verteilungsparameter F0 zu erhalten.

Der Intensitätswert des Gesteins am Spitzenpunkt, der Wert der Schadensvariablen und der Koeffizient λ können ausgedrückt werden als:

Die elastischen Parameter von Sandstein unter verschiedenen Grenzdruckbedingungen aus den triaxialen Labortestdaten sind in Tabelle 4 aufgeführt.

Die Variation des Elastizitätsmoduls und des Poisson-Verhältnisses von Gestein unter verschiedenen Grenzdruckbedingungen wird basierend auf den Daten in Abb. 7 dargestellt.

Zusammenhang zwischen Grenzdruck, Poissonzahl und Elastizitätsmodul.

Abbildung 7 zeigt, dass mit zunehmendem Grenzdruck der Elastizitätsmodul und die Poisson-Zahl zunehmen. Wenn der Grenzdruck weiter zunimmt, widersteht das Gestein Verformungen und kann Belastungen standhalten, wodurch Sandstein weniger anfällig für Beschädigungen wird.

Die Kohäsionskraft und der innere Reibungswinkel des Gesteins werden durch die Spitzenfestigkeit des Gesteins unter verschiedenen Grenzdrücken bestimmt. Die Daten des ersten und dritten Hauptstresstests sowie die Anpassungskurve des Mohr-Coulomb-Kriteriums sind in Abb. 8 dargestellt.

Anpassungskurve der ersten und dritten Hauptspannung.

Gemäß Abb. 8a erfüllen der Axialdruck und der Begrenzungsdruck die folgende Beziehung.

Dabei ist c die Kohäsion und φ der innere Reibungswinkel.

Gleichung (36) kann wie folgt transformiert werden.

wobei A und B Substitutionsparameter sind.

A und B können ausgedrückt werden als

Aus Gl. (38) können der Kohäsions- und der innere Reibungswinkel umgekehrt berechnet werden als

Die Kohäsion beträgt c = 14,43 MPa und der innere Reibungswinkel φ = 27,48°. Das Mohr-Coulomb-Kriterium weist einen guten Übereinstimmungsgrad mit den experimentellen Daten auf. Diese Bedingung weist darauf hin, dass dieses Versagenskriterium zur Beschreibung der Gesteinsverformung und der Versagenseigenschaften verwendet werden kann.

Die Werte jedes Parameters im statistischen Schadenskonstitutivmodell sind in Tabelle 5 aufgeführt.

Bei den berechneten Werten der oben genannten Parameter handelt es sich lediglich um Verteilungsparameterwerte unter einem bestimmten Grenzdruck und sie können die Beziehung zwischen den Verteilungsparametern und dem Grenzdruck nicht in allen Fällen vollständig wiedergeben.

Daher werden die Parameter durch die Verteilungsparameter bei unterschiedlichen Grenzdrücken entsprechend korrigiert. Die Korrekturkurve ist in Abb. 9 dargestellt. Die Korrekturgleichung wird wie folgt dargestellt.

Zusammenhang zwischen Verteilungsparametern und Grenzdruck.

Die endgültige Gleichung des elastischen Energiemodells kann durch Einsetzen der Formel (40) und Formel (41) in Formel (24a) erhalten werden.

Die Verteilungsparameter-Korrekturgleichung wird in das elastische Energiemodell eingesetzt, um das nichtlineare Gesteinsenergieentwicklungsmodell zu erhalten. Durch Einsetzen unterschiedlicher Grenzdruckwerte und Elastizitätsmodul- und Poissonzahlwerte des Gesteins in die Energiemodellgleichung kann die Energiemodellkurve des Gesteins unter verschiedenen umgebenden Gesteinseinflüssen ermittelt werden. Die Energieentwicklung und die Testkurven des Sandsteinmodells unter verschiedenen Grenzdrücken von 10 und 30 MPa sind in Abb. 10 dargestellt.

Vergleich von Testdaten und Modellkurve.

Die Modellkurve weist einen hohen Grad der Übereinstimmung mit den experimentellen Daten auf und ihr Korrelationskoeffizient ist mit über 0,98 groß. Daher kommt das Modell dem tatsächlichen Schadens- und Entwicklungsgesetz des umgebenden Gesteins nahe und das etablierte Modell kann die elastische Energie-Dehnungs-Beziehung des Gesteins effektiv widerspiegeln. Die meisten Parameter im vorgeschlagenen Modell können durch Experimente bestimmt werden, und die eingeführten Verteilungsparameter haben offensichtliche physikalische Bedeutung.

Die Verteilungsparameterwerte werden in das Schadensmodell eingesetzt.

Das Schadensentwicklungsgesetz des umgebenden Gesteins unter verschiedenen Grenzdrücken ist in Abb. 11 dargestellt.

Schadensentwicklung.

Abbildung 11 zeigt, dass bei gleichem Grenzdruck die Schadensvariable mit zunehmender Axialdehnung zunimmt. Auch die Mikrorisse weiten sich nach und nach aus. Wenn die axiale Dehnung etwa 0,0015 % beträgt, erreicht der Schadenswert nahezu 0,7. Der Schaden entsteht in der plastischen Phase nach der elastischen Phase. Das heißt, nachdem die Spannungs-Dehnungs-Kurve von der elastischen Phase in die plastische Phase übergeht, entwickelt sich der Schaden steil. Im Stadium der plastischen Schädigung weist ein geringer Grenzdruck auf einen geringen Schadenswert hin. Zu Beginn der Belastung werden die inneren Poren verdichtet, um die Schadensveränderungen zu verringern. Mit zunehmender Belastung verdichten sich jedoch die inneren Poren und es entstehen Risse im Gestein. Der Schadenstrend nimmt mit der kumulativen Wirkung von Mikrorissen und Rissen zu. Gleichzeitig konvergieren die Mikrorisse in schwachen Bereichen und die Schadensrate erhöht sich weiter und nähert sich 1. Dieser Prozess steht im Einklang mit der beschädigten Entwicklung des tatsächlichen Gesteins. Diese Konsistenz zeigt die Rationalität und Richtigkeit des Schadensentwicklungsmodells an.

Einsetzen der erhaltenen Verteilungsparameter in Gl. (25) kann der Vergleich zwischen der Modellkurve der Spannungs-Dehnungs-Beziehung und der Testkurve erhalten werden (wie in Abb. 12 dargestellt).

Der Vergleich zwischen der Modellkurve der Spannungs-Dehnungs-Beziehung und der Testkurve.

Aus Abb. 12 ist ersichtlich, dass das in dieser Arbeit erstellte Modell besser mit der experimentellen Kurve übereinstimmt als mit der experimentellen Kurve. Insbesondere in der Phase der Erweichung nach der Spitzendehnung stimmt die Modellkurve in diesem Artikel eher mit der experimentellen Kurve überein. Daher kann das in dieser Arbeit erstellte Schädigungskonstitutivmodell das Spannungs-Dehnungs-Variationsgesetz von Gestein unter verschiedenen Grenzdrücken besser widerspiegeln. Es bietet eine theoretische Grundlage für die Verankerung der Unterstützung in der praktischen Ingenieurspraxis.

Bei der Verifizierung des oben erwähnten nichtlinearen Sandstein-Energiemodells wird der Einfluss der Verteilungsparameter auf die Energieentwicklung nicht analysiert. Daher wird die Bedeutung jedes Verteilungsparameters im Energiemodell unter dem Grenzdruck von 10 MPa untersucht. Der Zusammenhang zwischen den Verteilungsparametern m und F0 auf Energie und Dehnung wird diskutiert. Das Einflussgesetz ist in Abb. 13 dargestellt.

Einfluss von Verteilungsparametern auf die elastische Leistung.

Wenn n festgelegt ist, nimmt die elastische Energie des Sandsteins mit der Zunahme von F0 zu. Der Grund dafür ist, dass die Schadensvariable D mit steigendem F0 allmählich abnimmt. Die Fähigkeit von Sandstein, Verformungen und Schäden durch äußere Belastungen zu widerstehen, wird erhöht, was die Ausdehnung von Sandstein-Mikrorissen verlangsamt. Der Sandstein hat im Druckversuch einen geringen Energieverlust und es steht eine große Energiemenge zur Verfügung, um die Arbeit mit einer externen Belastung umzuwandeln. Nach dem Energieerhaltungssatz ist die Menge der im Gestein gespeicherten elastischen Energie groß. Wenn F0 festgelegt ist, nimmt die elastische Energie mit der Zunahme von n ab. Die inneren Verformungen und Schäden des Sandsteins verstärken sich allmählich und die Rissbildung auf der mikroskopischen Oberfläche ist abgeschlossen. Bei der Belastung des Gesteins wird viel Energie verbraucht, wodurch ein kleiner Teil der elastischen Energie im Gestein wiederhergestellt wird. Daher spiegeln die Verteilungsparameter F0 und n effektiv das Entwicklungsgesetz der Gesteinsenergie wider. Die Werte dieser Parameter können zur Bestimmung der Gesteinsenergie und -schädigung verwendet werden. Bei gleicher Belastung nimmt die Energie mit zunehmendem Parameter λ ab und die Energiekurve wird immer sanfter. Dies zeigt auch, dass die Erhöhung des Parameters λ die Energiespeicherung im Gestein verringert. Wenn der Dehnungswert 0,058 % beträgt und der Verteilungsparameter F0 um 4 Werte reduziert wird, wird die elastische Energie um 59,71 % reduziert. Wenn der Dehnungswert 0,058 % beträgt und der Verteilungsparameter n um 2 Werte zunimmt, wird die elastische Energie um 67,79 % reduziert. Wenn der Dehnungswert 0,058 % beträgt und der Parameter λ um 0,2 zunimmt, verringert sich die elastische Energie um 27,95 %.

Um die Richtigkeit und Überlegenheit des in diesem Dokument festgelegten Modells weiter zu überprüfen, wird das Modell in Referenz27 verwendet, um das Modell mit der Testkurve zu vergleichen. Die Vergleichskurve ist in Abb. 14 dargestellt.

Vergleich des Literaturmodells und der Modellkurve in diesem Artikel.

Das Modell in Referenz27 kann die Spannungs-Dehnungs-Kurve von Gestein gut beschreiben. Es kann jedoch nicht das verbleibende Verformungsstadium der Spannungs-Dehnungs-Kurve beschreiben. Gleichzeitig ist die Übereinstimmung der Spannungs-Dehnungs-Kurve des Gesteins im Post-Peak-Erweichungsstadium geringer als im vorgeschlagenen Modell. Durch den Vergleich mit anderen Modellkurven ist das Modell dieser Arbeit besser für die experimentelle Kurve geeignet. Sie zeigen, dass das verbesserte Modell die Spannungs-Dehnungs-Beziehung von Gestein besser beschreiben könnte.

Das energetische nichtlineare Entwicklungsmodell des Gesteinsversagens stimmt mit den experimentellen Daten überein. Die Energieanpassungskurve stimmt mit der Testkurve überein. Der Korrelationskoeffizient liegt über 0,95. Es zeigt, dass die Erstellung verschiedener nichtlinearer Energiemodelle das Energieentwicklungsgesetz im Prozess des Gesteinsversagens besser widerspiegeln kann. Allerdings kann das Energiemodell die Energiephase nach dem Höhepunkt nicht beschreiben und wird in nachfolgenden Studien weiter untersucht.

Die Modellparameter können die Entwicklung der Gesteinsenergie besser widerspiegeln. Es bietet eine Methode zur Beurteilung des sich ändernden Trends der Gesteinsenergie anhand von Modellparameterwerten.

Das konstitutive Modell, das die Spannungs-Dehnungs-Kurve beschreiben kann, wird durch Differenzierung des Energiemodells erhalten. Die Modellkurve stimmt gut mit der experimentellen Kurve überein. Das Modell kann auch die Spannungs-Dehnungs-Kurve im Post-Peak-Stadium gut beschreiben.

Wenn der Dehnungswert 0,058 % beträgt und der Verteilungsparameter F0 um 4 Werte reduziert wird, wird die elastische Energie um 59,71 % reduziert. Wenn der Dehnungswert 0,058 % beträgt und der Verteilungsparameter n um 2 Werte zunimmt, wird die elastische Energie um 67,79 % reduziert. Wenn der Dehnungswert 0,058 % beträgt und der Parameter λ um 0,2 zunimmt, verringert sich die elastische Energie um 27,95 %.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim jeweiligen Autor erhältlich.

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Diese Arbeit wurde auch von der National Natural Science Foundation of China (Grant No. 51774167) unterstützt. Diese Arbeit wurde auch vom Schlüssellaborprojekt der Provinz Liaoning (LJZS002) unterstützt. Diese Arbeit wurde auch vom „Xing Liao Talents Program“ Technology Innovation Leading Talent Project (XLYC1802063) der Provinz Liaoning unterstützt. Diese Arbeit wurde auch vom Ph.D. der Liaoning University of Technology unterstützt. Startfonds (XB2021012).

Fakultät für Bauingenieurwesen, Technische Universität Liaoning, Fuxin, 123000, China

Zhiming Zheng & Yu Yang

Fakultät für Bauingenieurwesen, Technische Universität Liaoning, Jinzhou, 123000, China

Cheng Pan

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Alle Autoren haben zur Konzeption und Gestaltung der Studie beigetragen. Die Materialvorbereitung, Datenerfassung und Analyse wurden von ZZ, YY, CP durchgeführt. Der erste Entwurf des Manuskripts wurde von ZZ und CP verfasst. Alle Autoren haben das endgültige Manuskript gelesen und genehmigt.

Korrespondenz mit Cheng Pan.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Zheng, Z., Yang, Y. & Pan, C. Das nichtlineare Energiemodell und Spannungs-Dehnungs-Modell von Sandstein. Sci Rep 13, 8456 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35145-0

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Eingegangen: 03. Dezember 2022

Angenommen: 13. Mai 2023

Veröffentlicht: 25. Mai 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-35145-0

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